Operazioni fra matrici
Somma fra matrici
Date due matrici con lo stesso numero di righe e di colonne:
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n} \\
\dots & \dots & \dots \\
a_{m1} & \dots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}
b{11} & \dots & b{1n} \
\dots & \dots & \dots \
b{m1} & \dots & b{mn} \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\
\dots & \dots & \dots \\
a_{m1}+b_{m1} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{pmatrix}
$$
###Prodotto fra una matrice e un numero reale
Data una matrice qualunque o un numero qualunque:
$$
a
\begin{pmatrix}
a{11} & \dots & a{1n} \
\dots & \dots & \dots \
a{m1} & \dots & a{mn} \\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
aa_{11} & \dots & aa_{1n} \\
\dots & \dots & \dots \\
aa_{m1} & \dots & aa_{mn} \\
\end{pmatrix}
$$
####Esempi
$$
A =
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\
B =
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 \\
2 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}\
A + B =
\begin{pmatrix}
3 & 5 & 1 \\
5 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\
-2A =
\begin{pmatrix}
-4 & -2 & 0 \\
-6 & 0 & -4 \\
\end{pmatrix}\
$$
Matrice Nulla
Esista una matrice nulla che è una matrice fatta da tutti 0:
$$
0 =
\begin{pmatrix}
0 & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots \\
0 & \dots & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Proprietà della somma
| Esempio |
Regola |
| $A+B=B+A$ |
Commutativa |
| $A+(B+C)=(A+B)+C$ |
Associativa |
| $A+0=0+A=A$ |
Esiste la matrice 0 |
| $A+(-A)=A-A=0$ |
Esiste la matrice opposta |
Proprietò del prodotto matrice numero
| Esempio |
Regola |
| $a(A+B)=aA+aB$ |
Distributiva I |
| $(a+b)A=aA+bA$ |
Distributiva II |
| $1A=A$ |
Esiste l'elemento neutro |
| $(ab)A=a(bA)=b(aA)$ |
Boh |
Matrici e spazi vettoriali
Quindi date le metrici $R^{m,n}$ (Matrice in R con m righe e n colonne) sono definite due operazione di somma e prodotto con le 8 proprietà richieste e quindi è uno spazio vettoriale.
Ovviemente questo vale tra matrici con lo stesso numero di righe e colonne.
Prodotto fra 2 matrici
Il prodotto fra matrice è possibile quando il numero di righe della matrice A è uguale al numero di colonne della matrice B.
Estendendo, se A è una matrice $R^{n_a,m}$ allora la matrice B deve essere una matrice $R^{m,n_b}$
Il prodotto sarà una matrica $R^{n_a, n_b}$
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b{11} & b{12} & b{13} \
b{21} & b{22} & b{23} \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22} \\
a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21} & a_{31}b_{21}+a_{32}b_{22} \\
\end{pmatrix}$$
Esempio 1:
$$\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 4 & 2 \
2 & 2 & 4 \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10 & 10 & 8 \\
18 & 18 & 18 \\
\end{pmatrix}$$
##Matrice Identica (Identità)
La matrice identità ($I$) di tipo $R^{m, n}$ ha 0 in tutti i punti tranne che sugli elementi diagoniali
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & \ddots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
Questa matrice ha un importante proprietà
$$
AI = A
$$
Esempio
$$
\begin{pmatrix}
4 & 4 & 2 \\
2 & 2 & 4 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 4 & 2 \\
2 & 2 & 4 \\
\end{pmatrix}$$
##Proprietà del prodotto di matrici
1. $A(BC) = (AB)C$
2. $A(B+C) = AB + AC$
3. $AI = IA = A$
Non vale la proprietà dell'annullamento del prodotto.
$A != 0, B != 0 \text{ è possibile che } AB = 0$
$$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
$$